Özet :  Burada geliştirilen sayısal kontrol tekniği ile, çok değişkenli lineer olmayan amaç ölçüt fonksiyonlarının global optimizasyonu amaçlanmaktadır.  Geri beslemeli bir kontrol sisteminde, kontrol edilen sistemi temsil eden  diferansiyel denklem takımı yerine  lineer olmayabilen bir f(x) fonksiyonu yerleştirildiğinde uygun tasarlanmış kontrolör çıkışı, sürekli halde , f(x)-r=0 ile ifade edilen  denklemin çözümünü verir. Bu çalışmada verilen global optimizasyon tekniğinde bulanık mantık ile çalışan ayrık sayısal kontrolör ve değişken referans işaretleri kullanılmaktadır. Amaç ölçüt fonksiyonunun çözüm aralığının alt ya da üst sınırındaki değerleri referans  alınarak kök arama işlemi gerçeklenir. Her kök arama işleminden sonra referans işaret arttırılır ve kontrolör çıkışı diğer parametre sınırına erişinceye kadar bu işleme devam edilir.  Doymaya  erişmeden önceki bulunan son kök değeri global ekstremum olarak alınır.

I. Giriş

                 Global minimizasyon problemi,  XÌRⁿ  kompakt bir küme olmak üzere,  f:Rⁿ®R¹ amaç ölçüt fonksiyonu ,

 f^*=min f (x)        ,      x ÎX                                                       (1)

şeklinde tanımlanan  f^* değerini bulmayı amaçlar . f(x) fonksiyonunu minimize eden x değeri, ayrıca  –f(x) fonksiyonunu maksimize ettiğinden, bu tanım global maksimum  için de  geçerlidir ve genel olarak global optimizasyon problemi olarak adlandırılır.  Amaç ölçüt fonksiyonu f’nin süreksizliliği, birden fazla ekstremumu bulunması, kullanılacak optimizasyon tekniğini kısıtlar. Örneğin, süreksiz bir amaç ölçüt fonksiyonunun optimizasyonunda, türev ifadesini  kullanan  yöntemlerde  sorunlarla karşılaşılır.  

                Şekil 1’de birim geribeslemeli bir ayrık kontrol sisteminin blok yapısı görülmektedir.  f(.)  diferansiyel denklem takımı yerine bir f(x) fonksiyonu konması halinde, kontrol  kuramı kullanılarak, (1) ile tanımlanan  global optimizasyon probleminin çözümüne,aynı blok diyagramı ile yaklaşılabilir. 

Şekil 1 – Sayısal arama probleminin, bir otomatik kontrol sistemi olarak görülmesi.

 Kontrol kuramı gereği, uygun seçilmiş bir Gc kontrolörü, sürekli halde   e hata işaretini sıfıra götürür.  Diğer bir bakış açısıyla,  k adım sayısı olmak üzere,

k®¥  için  e(k)®0, f(Uc(k))®r                                        (2)

ya da, * optimum çözümü ifade etmek üzere,

f(Uc)-r ½®0 ?  Uc^*=x^* ,  f(x^*)=r                                       (3)

        k®¥

ifadeleri geçerlidir.

  Buna göre, Uc kontrolör çıkışı,   f(x)-r=0 denkleminin çözümünü verir. Özel olarak referans işaretinin r=0 olarak verilmesi durumunda , sürekli halde Uc’nin son değeri, f(x) fonksiyonunun bir köküne karşı düşer.  Bu kontrol kuramı yaklaşımı  diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde optimum adım boyunun hesaplanmasında kullanılmıştır[1] . Bu çalışmada ise, aynı yaklaşım, global optimizasyon probleminin çözümünde kullanılacak olan bir fonksiyonun köklerinin belirlenmesinde kullanılmıştır.

II. Bulanık kontrolör ile kök arama

                  Burada önerilen yöntemde,  f(.) yerine, herhangi bir tek veya çok değişkenli amaç ölçüt fonksiyonu,   Gc yerine ise bulanık tabanlı kontrolör kullanılmaktadır.

               Şekil 2’de önerilen kapalı çevrim kontrol düzeni ile f(x)-r=0 denkleminin çözümü elde edilir.  Burada   örnekleme periyodu k adım sayısına karşı düşmekte ve çözüm olarak kontrolör çıkışı değerlendirilmektedir.  Denklemlerin nümerik yöntemlerle özyinelemeli çözümleri yerine kontrol kuramı yaklaşımı ile çözümünde klasik kontrolörlerin kullanımı bazı sorunlar getirmektedir.  Örneğin kök arama probleminde, PID türü kontrolör kullanıldığında, çözüme erişmede  kararlılık sorunları ile karşılaşılmıştır. Çözümü aranan f(x) fonksiyonunun kök civarındaki türevinin büyük olması sadece  salınım yaratmamakta aynı zamanda kök noktasının atlanmasına   da sebep olabilmektedir.

 Şekil 2 – Tek değişkenli f(x)-r=0 çözümü için bulanık kontrolör kullanan düzenin blok şeması

Burada açıklanann çözüm tekniğinde Mamdani’nin  [4] önerdiği bulanık kontrolör yapısı kullanılmıştır.  Şekil 2’de görülen blok yapıda e hatayı, ce hata değişimini, Sce hata ölçeklendirilme katsayısını, Scce hata değişiminin  ölçeklendirilme katsayısını, E ölçeklendirilmiş hatayı, CE  ölçeklendirilmiş hata değişimini, du  bulanık kontrolör çıkışını,Uc  ayrık integre edilmiş kontrolör çıkışını ve Uc^*  ulaşılan kök değerinin göstermektedir.

Bu tür bir bulanık kontrolörün du çıkışı, hata ve hatanın değişimine göre belirli bir karar değerinden sonra doymaya girmektedir.  f(x) fonksiyonu kökünün aranmasında kullanılan kapalı çevrimli  sistemdeki tek bellek elemanı bulanık kontrolör çıkışındaki   integratördür. Nümerik çözüm amaçlı bu sistem, sınırlı giriş için sınırlı çıkış üreteceğinden, yanlış kontrolör parametresi seçimi, yanlızca aranan kök civarında sınırlı genlikli salınıma yol açmaktadır. Bulanık  kontrolör karar tablosu doğru seçilmiş ise, giriş kazanç parametrelerinde (Sce, Scce) ideal değerden sapma  olması durumunda bile,sistem en fazla  aranan kök civarında kararlı  bir osilasyona girer.  Bulanık kontrolör çıkışı Uc,  her iki işaret yönünde de doymaya girdiğinden sistem en azından Lyapunov anlamında kararlıdır. Arama yapılan bölgede kök yoksa ya da ilk koşul olarak bulanık kontrolör çıkış kazancı, fonksiyonun Lipchitz değerine göre çok büyük ise, Uc kontrol işareti arama sınırının dışına çıkacaktır.  Bu durumda arama yapılan bölgede bir kök  bulunsa da bulunmasada , bölgede bir kökün bulunmadığı sonucuna varılır.

k.adım sonrasında oluşan hata,

e(k)=[r-f(Uc(k))]d                                                 (4)

ile ifade edilebilir. Burada r giriş referans işareti olup kök arama probleminde değeri sıfırdır. Başlangıç noktasına göre istenen yönde kök arayabilmek için bir defaya mahsus olmak üzere 1.adım sonunda d sabiti şu şekilde belirlenir,

     ì d(0)=+1, +e(0) yönünde kök arama ? d(k>0)= +1

d= í d(0)=+1, -e(0) yönünde kök arama  ? d(k>0)= -1

     î                                                                                                                                                                           (5)

ve e hata işareti,  (5)’le tanımlanan d sabiti ile çarpılarak istenen yönde kök aramaya devam edilir.  Bulanık kontrolör karar mekanizması için gerekli olan hatanın değişimi,

ce(k)= (1-z^-1)e(k) = e(k)-e(k-1)                                            (6)

fark ifadesi ile elde edilir. Ölçeklendirilmiş hata E ve hatanın değişimi CE

E(k)=Sce × e(k)                                                                    (7)

CE(k)=Scce × ce(k)                                                               (8)

 şeklinde hesaplanır.  C ve CE değerlerinin bulanıklaştırılmasında şekil 3’de görülen  üyelik fonksiyon atamaları kullanılmıştır.

Şekil 3 - Hata , hatanın değişimi ve çıkış işareti için üyelik fonksiyonları

Bulanıklaştırma sonucu, E ve CE’nin üyelik dereceleri oranında aldıkları (NB, NO, NK, S, PK, PO, PB)  değerlerine göre bulanık çıkış değeri, tablo 1 ile atanmaktadır.  

Tablo 1 - Hata (E) ve Hatanın değişimine (CE) göre bulanık karar tablosu

 NB : Negatif büyük , NO : Negatif orta , NK : Negatif küçük , S : Sıfır , PB  : Pozitif büyük ,   PO : Pozitif orta ,   PK : Pozitif küçük

Elde edilen bulanık karar ve üyelik dereceleri, ağırlık merkezi yöntemi ile durulanarak du çıkış değeri elde edilmiştir.

                                       ₄     

                                       Su_im(u_i)         

                                          ⁱ⁼¹      
                       du = ^____________                     (9)

                                                     ₄     

                                       Sm(u_i)             

                                          ⁱ⁼¹      

Arama yapılacak üst sınır UB ; başlama noktası LB olsun . Yapılan uygulamada ,

c₃=½UB/2½ ,  c₂=(2/3)×c₃ ,  c₁=(1/3)×c₃                                (10)

alınmıştır. (LB,UB) aralığında arama yapabilmek için  Uc(0)=LB olmalıdır.  Yapılan bu atama nümerik arama işlemine istenen bir noktadan başlanmasını sağlamaktadır.  Ayrık integratör çıkışı,

Uc(k)=Uc(k-1)+Scu×du(k)                                                  (11)

 
olacaktır. Kök araması yapılan  f(x) fonksiyonu hakkında bir ön bilgi olarak Lipchitz değeri verilmiş ise [2],  (LB,UB) aralığındaki herhangi x1, x2 için,

L³½f(x1)-f(x2)½/½x1-x2½  ve ½x1-x2½³r                           (12)

koşulları sağlanmalıdır. Burada r arama işlemi sırasında kullanılan rakamsal en küçük çözünürlük değeridir  (örneğin 0.000001 gibi).

Kök arama probleminde,  köke ulaşılmış   koşulu f(Uc(k))=0 anlamına geldiğinden (12)’deki f(x2) değeri f(Uc(k)) olarak değerlendirilirse, (12) denklemi

Uc(k) < ½f(Uc(k-1))½/L + Uc(k-1)                                    (13)

şeklinde ifade edilebilir ve burada kök koşulu,

f(Uc(k-1))<0 ? max(f(Uc(k-1)))=0

f(Uc(k-1))>0 ? min(f(Uc(k-1)))=0                                     (14)

şeklinde yazılır.

 (11)’deki Uc değeri (13)’de yerine konulursa,

 Scu×du(k)<½f(Uc(k-1))½/L                                                 (15)

 sınırlaması elde edilir. Kök arama probleminde r=0 alındığından e(k)=-f(Uc(k))   ve du=Gc(E,CE) olduğundan, çözümü garanti eden du’nun üretimi, sabit c₁,c₂,c₃ için, sadece   Scu seçimine bağlıdır. L değeri bilinmeyen bir fonksiyon için adım boyu ve genlik değişimine bağlı ardışıl bir üst sınır değeri ,

 L(k)=max(L(k-1),|f(Uc(k))-f(Uc(k-1))| /|Uc(k)-Uc(k-1)|)                                                                                            (16)

ifadesi ile üretilebilir. Burada elde edilen L(k) değeri adım duyarlılığına karşılık düşmektedir. L(k), L değerinin bilinmediği durumda Scu’nun ayarlanmasında kullanılabilir fakat kuramsal olarak sonuca erişmeyi garanti etmez.

(a)

(b)

(c)

Şekil 4 – a) f(x)=x² fonksiyonu     b) (0,10) aralığında   f(x)-4=0 çözümü c) f(x)-6=0 çözümü

Önerilen global optimizasyon yönteminin bir parçası olan kök arama işleminin kolay anlaşılması için, ilk olarak f(x)=x²  örneği seçilmiştir. Şekil 4b’de referans giriş r=4 için (0,10) aralığında k=15 iterasyonda f(Uc(15))=4 sonucuna ulaşılmıştır. Diğer bakış açısıyla, sonlandırma kriteri T=0.001 için, 15 iterasyon sonunda   x²-4=0 denkleminin x=+2 noktasındaki kökü bulunmuştur. Buna karşılık T=0.0001 için  çözüme 17 iterasyonda gelinmektedir. Şekil 4c’de r=6 için x=0’dan başlayarak, k=14 iterasyonda T=0.001 hata toleransı ile x=+2.44949’daki köke ulaşılmıştır. Her iki referans işareti durumunda da  Sce=0.8,  Scce=0.3 , Scu=0.4 değerleri seçilmiştir.

Şekil 5 – r=4 için kontrolör parametrelerinin büyük seçilmesi

 Kontrol edilen sistem yerine f(.) fonksiyonu konulması durumu, değişken K kazançlı belleksiz bir sistemin yerleştirilmesi ile  özdeştir.  Kontrolör parametrelerinin  yüksek kapalı çevrim kazancı oluşturması aranılan kök civarında salınıma neden olmaktadır.   Şekil 5’te  Sce=0.8 , Scce=0.3 iken  Scu değeri, 0.4’ten 0.6’ya arttırılması halinde r=4 etrafında 2.4 genlikli bir salınım oluştuğu görülmektedir.

Unimodal bir fonksiyonun optimisazyonu ya da köklerinin bulunmasına ilişkin çok sayıda yöntem bulunmaktadır. Bilindiği üzere lokal kök arama veya optimizasyon yöntemleri unimodal olmayan fonksiyonlarda başarısız olabilmektedir. Bulanık kontrolör kullanılan bu yeni yöntemde, verilen bir başlangıç noktasından itibaren istenilen doğrultudaki bir köke erişilirken, sadece daha önceki sayısal denemeler ve bulanık karar tablosu referans alındığından, fonksiyonun karmaşıklığı çözüme ulaşma başarısını etkilemez. 3.Bölümde açıklanacağı üzere,  bu özellik global optimizasyon probleminin çözümünde kullanılacaktır.  Şekil 6’da,f(x)=0.1x²-5+2sin(2x) fonksiyonunun   (-10,+10) aralığındaki değişimi görülmektedir.

Şekil 6 –    (-10,10)  aralığında  f(x)=0.1x²-5+2sin(2x) değişimi

Şekil 7- r=0 için  LB=Uc(0)=-1 UB=10 için

kök aramada  a) Fonksiyon çıkışı f(Uc) ,  b)Fonksiyon giriş işareti Uc  c) Bulanık kontrolör çıkışı du’nun, k iterasyon sayısına göre değişimleri

Şekil 6’da görülen f(x)=0.1x²-5+2sin(2x) fonksiyonunun   x=-1’den başlayarak sağ tarafa doğru +10 üst sınırı ile kökü aranması durumunda , Sce=0.8, Scce=0.3, Scu=0.3 için 33 çevrimde T=0.0001 hata toleransı ile x=6.48678’deki köke ulaşılmaktadır.

 III. Bulanık kontrolör ile global optimizasyon

 Bulanık kontrolör ile global optimizasyon için çeşitli yaklaşımlar mümkündür. Burada önerilen optimizasyon algoritması,  bulanık kontrolörlü kapalı çevrim kontrol düzeni  ile çözüm istenen aralığın taranması üzerinedir. Tarama işlemi, alt sınırdan üst sınıra, üst sınırdan alt sınıra, ya da çok başlangıç noktalı  yapılabilir.   Ek 1’de görülen optimizasyon algoritması alt sınırı başlangıç noktası kabul etmekte ve verilen bir f(.) fonksiyonunun maksimum değerini aramaktadır.  Aramaya başlanan   noktada fonksiyon artış yönünde ise r=0 için  f’(Uc)=0 çözümü sağa doğru aranır ve bulunan ilk kök yeni global maksimum noktası olarak kabul edilir. Aramaya başlanan noktada  fonksiyon azalma yönüde ise, r=f(Uc) için sağa doğru bulanık kontrolör ile kök aranır ve bulunan ilk kökten itibaren r=0 için f’(Uc)=0 çözümü elde edilerek varılan yeni nokta global maksimum kabul edilir. Her iki halde de r=yeni global maksimum, alınarak f(Uc)=r çözümü ile tekrarlı olarak işleme devam edilir. Arama sırasında kontrol işareti Uc>UB koşulu oluşursa varılmış olan en son f’(Uc)=0 çözümü global maksimumu verecektir. f’(Uc)=0 çözümünde türev alma işlemini gerçekleştirmek için geri besleme yoluna z^-1 öteleyici ve fark alıcı konularak f(k)-f(k-1) değeri kullanılabilir. Fakat adım boyu farklı olduğundan doğru sonuca ulaşmaktaki başarım düşmektedir. İşlem bilgisayar ortamında yapıldığında tercih edilmesi gereken, f(x) yerine sayısal  türev  (Örneğin (f(x+h)-f(x))/h) kullanmaktır.

                f(x)=0 alt işletiminde, sonlandırma kriteri olarak global aramada istenen duyarlılığı almak gerekmez. Çünkü, global noktalara f’(x)=0 çözümünün sonrasında  ulaşılmaktadır. Örneğin, T=0.000001 hata üst sınırı ile çözüm isteniyorsa; kök arama çevrimlerinde T=0.01 ; türev arama çevrimlerinde ise T=0.000001 seçmek aynı doğrulukta daha kısa sürede çözüme ulaşmayı sağlayacaktır.

                Optimizasyon değişkenleri üzerine getirilebilecek kısıtlamalara uymak için, amaç ölçüt fonksiyonuna ceza bileşeni eklenebildiğinden burada ayrıca ele alınmamıştır. 

                (a)

          (b)

Şeril 8-   a) (-10,10) aralığında f(x)=-0.2x²+5+2sin(2x) fonksiyonu  b) Global maksimum aranmasında Uc’nin değişimi

Şekil 8-a’da görülen  f(x)=-0.2x²+5+2sin(2x) fonksiyonu için (-10,10) aralığında global maksimum aranmasında –10 noktası  başlangıç noktası alınmıştır.    f’(-10)>0  olduğundan aramaya türev çevrimi ile başlanmıştır. Şekil 8-b’de görüleceği üzere dördüncü türev çevrimi sonunda x=0.7475016 da global maksimum olan f(x^*)=6.882506 değerine t=0.00001 hata üst sınırı ile ulaşılmıştır. f(x^*) referans alınarak yapılan bir sonraki kök çevriminde, toplam 120 iterasyon sonunda Uc>+10 değeri ile doyma oluştuğundan işlem sonlandırılmıştır (Şekil 8-b). Buradaki kök arama çevrimlerinde Sce=0.6, Scce=0.2, Scu=0.3 ; türev çevrimlerinde ise Sce=0.4 , Scce=0.1 , Scu=0.2 alınarak  işlem yapılmıştır.

Şekil 8’daki fonksiyonun frekansı arttırılmış hali olan f(x)=-0.5x²+5+2sin(7x)      (Şekil 9),  x=0 civarında birbirine yakın maksimumlar içerdiğinden daha düşük ölçekleme katsayıları ile doğru sonuca erişilmektedir. Şekil 9’da görüleceği üzere global maksimum değeri olan x^*=0.2220655’deki f(x^*)=6.975077 değerine ,x=-4 başlangıç koşulu ile, toplam 228 iterasyonda ulaşılmıştır. Burada, T=0.00001, kök çevrimlerinde Sce=0.5, Scce=0.2, Scu=0.2 ; türev çevrimlerinde Sce=0.4, Scce=0.1, Scu=0.05 değerleri kullanılmıştır

                        (a)

                      (b)

   Şekil 9-  f(x)=-0.5x²+5+2sin(7x) fonksiyonu ve global maksimum noktasının aranması

Tablo 2’de, bulanık kontrolör kullanılarak global optimizasyon  ile diğer bazı yöntemlerin  sonuca erişimdeki  yineleme sayıları görülmektedir [2].    Global optimizasyon problemlerinde yineleme sayısı, kullanılan yönteme ve optimize edilen fonksiyona  bağlı olarak  çok değişkenlik göstermektedir.  Tablo 2’de karşılaştırılması yapılan fonksiyonlar diğer yöntemlerin başarılı oldukları arasından seçilmiştir.

Tablo 2 – Global minimum araması yapılan bazı test fonksiyonları ve literatürde yer alan bazı   algoritmaların sonuca erişimdeki değerlendirme sayıları

Tablo 2’de yer alan fonksiyonlar,

f₁(x)= sinx+sin(10x/3)+lnx-0.84x

f₂(x)= sinx+sin2x/3

             ₅

f₃(x)= -Ssin((i+1)x+i)

            ⁱ⁼¹

ve karşılaştırma yapılan yöntemler aşağıda sıralanmıştır.

Y1=Bulanık kontrolör

Y2=Zilinskas 2

Y3=Strong

Y4=Pijav

Y5=Batish

           IV. Sonuç

Burada önerilen global optimizasyon yönteminde, f(x) için bir Lipchitz değeri verilebilmesi durumunda çözümün doğruluğu garanti edilir.Fonksiyonun süreksiz olması durumunda, kuramsal olarak doğru çözümü hiç bir yöntem garanti etmemekle birlikte, açıklanan yöntemin standart test fonksiyonlarında başarıya ulaştığı görülmüştür. Burada önerilen yöntem kontrol kuramının global optimizasyon probleminin çözümüne yeni bir yaklaşım ve bakış açısı getirmektedir.

 Referanslar :

[1]   GUSTAFSSON Kjell,  Step size control in ordinary differential equations, Lund Institute of   Technology , Sweden, 1988

[2]   TÖRN Aimo, ZILINSKAS Antanas, Global optimization, Lecture notes in computer science, Berlin , 1988

[3]  QIN Joe, BORDERS Guy, A multiregion controller for nonlinear process control, IEEE   

Transactions on fuzzy systems , February 1994

[4] MAMDANI E.H., An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller, Int.J. Man-machine studies, vol. 7, pp.1-13, 1975

[5]  ZHIGLJAVSKY Anatoly, Theory of global random search, Kluwer academic publishers, 1991 

EK 1:

Tek değişken için bulanık kontrolör ü ile global optimizasyon algoritması

berk@berk.tc